Андрей — воспитанник омской школы хоккея. В системе «Авангарда» вратарь прошёл все ступени подготовки, выступая в МХЛ, ВХЛ и КХЛ. Дебют в Континентальной хоккейной лиге состоялся в сезоне 2020/2021.
Всего в КХЛ Мишуров провёл 109 матчей, одержал 44 победы, а также записал на свой счёт 5 игр «на ноль». Процент отражённых бросков вратаря составляет 91,4%, коэффициент надёжности — 2,69. Кроме того, Андрей вызывался в сборную России 25.
Добро пожаловать в Тольятти, Андрей!